Introduction

저번시간에 어떤 집합 위에 정의된 equivalence relation의 개념과 예시에 대해 배웠습니다. 오늘은 지난번에 언급했던 quotient set 에 대해서 알아보고, 구체적인 예시를 들어보겠습니다. 그리고 Group의 Example들을 다룰 때 들었던 예시 ℤ/nℤ 를 다시 설명해 보겠습니다.

우선, S 를 set 이라고 두고 ~를 equivalence relation on S 라고 하겠습니다. any 원소 x∈S에 대하여 Equivalence class 라는 것을 정의 하겠습니다:

Definition

다시 말해서, x∈S의 equivalence class [x]는 S의 원소 중에서 x와 ~로 relation이 있는 것들을 원소로 갖는 집합입니다. 나은 이해를 위해 예시를 들어보겠습니다:

Example

ℤ 위에서 equivalence relation 을 생각할 수 있는데 대표적인 예가 저번 글에서 말씀드렸던 ≡ (mod n) 입니다 (n은 정수).

보다 구체적으로 보기 위해서 n=5라고 합시다. 그러면 equivalence classes 들은 다음과 같이 됩니다:

······
[0]={···,-10,-5,0,5,10,···}=5ℤ
[1]={···,-9,-4,1,6,11,···}=1+5ℤ
[2]={···,-8,-3,2,7,12···}=2+5ℤ
[3]={···,-7,-2,3,8,13···}=3+5ℤ
[4]={···,-6,-1,4,9,14,···}=4+5ℤ
······

이것은 equivalence class의 정의로 부터 쉽게 알 수 있습니다 (체크해 보세요).

[a] 의 원소는 a≡b (mod 5)인 모든 b∈ℤ 입니다. 다시 말해서, a와 b를 5로 나누었을 때 나머지가 같은 정수 b 들을 원소로 갖는다는 말입니다.

이 예시로 알 수 있는 놀라운 점이 있습니다:

≡ (mod 5) 에 대하여 다른 원소 a,b∈ℤ 들에 대해서는 [a] 와 [b]가 다르구요, 심지어 [a]와 [b]의 교집합이 공집합 입니다.
≡ (mod 5) 에 대하여 같은 원소 a,b∈ℤ 들에 대해서는 [a]와 [b]가 같습니다.
모든 a∈ℤ에 대하여 [a]를 합집합 하면 전체 집합 S 가 됩니다.

이를 일반적인 set S 와 equivalence relation ~ on S 에도 생각해 볼 수 있습니다:

Proposition

이러한 성질을 equivalence classes 가 S의 partition 을 만든다고 합니다. (the equivalence classes form a partition of S)

이 proposition을 다음과 같이 증명할 수 있습니다:

Proof

자, 그럼 집합 S의 partition이라는게 무슨 의미일까요? 말 그대로 S를 쪼갠다는 의미입니다. 위의 예시 ℤ에서 the equivalence classes under ≡ (mod 5) 가 ℤ를 5등분으로 쪼개는 것을 알 수 있습니다:

ℤ=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]

마지막으로 대망의 quotient set을 정의하겠습니다:

Definition

그러면 앞의 Proposition에 의해서 S/~ 는 S 의 partition이 됩니다.

ex) ℤ/≡ (mod 5)={[0],[1],[2],[3],[4]}

그리고 ℤ/5ℤ=ℤ/≡ (mod 5) 임을 알 수 있습니다 (as a set).

일반적인 정수 n에 대해서도 ℤ/nℤ=ℤ/≡ (mod n) 입니다.

글을 마치며

다음시간에는 quotient set 의 중요한 예시들을 소개하겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.