Simulando triángulos con Matlab

Introducción

Hola amigos, en esta oportunidad quiero compartirles un pequeño experimento que realicé para comprobar un teorema matemático bastante conocido por quienes están familiarizados con la geometría:

La suma de los ángulos interiores de un triangulo suman 180°

Si bien es cierto que es un teorema matemático que cuenta con demostración, me llamó la atención el hecho de que posee una demostración geométrica tan simple como solo tener que dibujar cualquier triangulo y con un instrumento transbordador medir sus ángulos internos y sumarlos para notar que sin importar que triangulo dibujes, verás que la suma total es 180° .

Fig. 1. La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

Entonces pensé en poner a prueba esta demostración dibujando tantos triángulos como sea posible para medir sus ángulos internos, sumarlos y comprobar que en efecto, la suma total de sus ángulos sea 180 grados, sin embargo considero que no seria muy practico ya que eso dependeria de la cantidad de triángulos que pueda dibujar. Así que decidí realizarlo por otro modo y pense que podria realizar un script en MATLAB que "dibuje" los triángulos, haga las medidas de los ángulos y los sume para verificar que en cada caso su suma sea o no 180° grados.

El apoyo teórico en este caso es el teorema de coseno, el cual es una generalización del teorema de pitágoras y es usado para encontrar los lados de un triangulo cuando se conocen dos lados adyacentes y el angulo que forman estos o para determinar algún angulo interno desconocido conociendo el valor de los 3 lados que forman el triangulo.

Metodologia

Para hacer la simulación, definí los siguientes pasos:

Establecer una serie de longitudes aleatorias (3 para cada triángulo). Para ello, definí tres pares de puntos aleatorios que hicieran de coordenadas para los vertices del triangulo.

Definido dichos puntos, calculé las distancias entre ellos a través de la siguiente expresión

Donde los términos dentro de la raíz cuadrada son las coordenadas de los vértices del triángulo, definidos en el paso anterior.

Calculados los lados de cada triangulo, utilicé el teorema del coseno para calcular los ángulos internos de cada triángulo definido en el paso 1. La ecuación que relaciona el ángulo desconocido con los lados del triangulo:

Donde a, b y c son los lados del triángulo y

(https://steemitimages.com/DQma6jX2tKhPi2cSk3cZ5cMZRdVQ4HsRcEnqHrVEcbQdjuE/y.png) es el angulo a calcular.

Luego de haber calculado cada angulo sumé los ángulos obtenidos en el paso 2. y verifiqué si para cada triángulo, su suma sea efectivamente 180°.
Tras haber hecho los pasos anteriores, repeti el experimento usando otros valores aleatorios para las coordenadas de los vertices del triangulo.

El script que escribí en Matlab fue el siguiente:

o=0; f=0; for i=1:1000 %Puntos del triangulo definidos aleatoriamente p1=10rand(1,2); p2=10rand(1,2); p3=10rand(1,2); % Distancia entre los puntos d12=p2-p1; d23=p2-p3; d13=p3-p1; % Modulo de la distancia entre los puntos a=sqrt(sum(d12.^2)); b=sqrt(sum(d23.^2)); c=sqrt(sum(d13.^2)); % Angulo "A" an1=acos(((a)^2+(b)^2-(c)^2)/(2ab)); % Angulo "B" an2=acos(((c)^2+(b)^2-(a)^2)/(2cb)); % Angulo "C" an3=acos(((a)^2+(c)^2-(b)^2)/(2a*c)); suma=radtodeg(an1+an2+an3); suma=round(real(suma)); if suma==180 o=o+1; else f=f+1; end end disp('Hay una cantidad de aciertos de'), disp(o) disp('Hay una cantidad de fallos de'), disp(f)

Como pueden ver, el script está diseñado para que al terminar de calcular los angulo, haga un registro de las veces en que la suma fue de 180 (guardado en la variable "o" y otros registro en caso de que la suma fue diferente de 180 (guardado en la variable "f").

Resultados

Realicé la simulación 10, aumentando en cada ocasión el número de triángulos en el indice "i" del comando for. Las variaciones en el indice fueron las siguientes: 10, 50, 100, 1000 y 10000.

10 Triangulos

50 Triangulos

100 Triángulos

1000 Triángulos

10000 Triángulos

Conclusión

En total se realizó el cálculo de 33480 ángulos de un total de 11160 triángulos simulados. Adicionalmente, a cada uno de esos 11160 triangulos se obtuvo la suma total de los ángulos internos, obteniéndose en cada caso un valor de 180°. En base a lo anterior, es posible verificar que el teorema citado al principio de la publicación se cumple.

Fuentes:
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